Canal de borrado binario - Binary erasure channel

El modelo de canal para el canal de borrado binario que muestra un mapeo desde la entrada del canal X a la salida del canal Y (¿con el símbolo de borrado conocido ? ). La probabilidad de borrado es ${\ Displaystyle p_ {e}}$

En la teoría de la codificación y la teoría de la información , un canal de borrado binario ( BEC ) es un modelo de canal de comunicaciones . Un transmisor envía un bit (un cero o uno) y el receptor recibe el bit correctamente o, con cierta probabilidad, recibe un mensaje de que el bit no fue recibido ("borrado"). ${\ Displaystyle P_ {e}}$

Definición

Un canal de borrado binario con probabilidad de borrado es un canal con entrada binaria, salida ternaria y probabilidad de borrado . Es decir, sea ​​la variable aleatoria transmitida con alfabeto . Sea la variable recibida con alfabeto , donde está el símbolo de borrado. Entonces, el canal se caracteriza por las probabilidades condicionales : ${\ Displaystyle P_ {e}}$${\ Displaystyle P_ {e}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ {0,1, {\ text {e}} \}}$${\ Displaystyle {\ text {e}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Pr} [Y = 0 | X = 0] & = 1-P_ {e} \\\ operatorname {Pr} [Y = 0 | X = 1] & = 0 \\\ nombre de operador {Pr} [Y = 1 | X = 0] & = 0 \\\ nombre de operador {Pr} [Y = 1 | X = 1] & = 1-P_ {e} \\\ nombre de operador {Pr} [Y = e | X = 0] & = P_ {e} \\\ nombre del operador {Pr} [Y = e | X = 1] & = P_ {e} \ end {alineado}}}$

Capacidad

La capacidad de canal de un BEC se logra con una distribución uniforme de (es decir, la mitad de las entradas debe ser 0 y la mitad debe ser 1). ${\ Displaystyle 1-P_ {e}}$${\ Displaystyle X}$

Prueba

Por simetría de los valores de entrada, la distribución de entrada óptima es . La capacidad del canal es: ${\ Displaystyle X \ sim \ mathrm {Bernoulli} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {I} (X; Y) = \ operatorname {H} (X) - \ operatorname {H} (X | Y)}$ Observe que, para la función de entropía binaria (que tiene valor 1 para la entrada ), ${\ Displaystyle \ operatorname {H} _ {\ text {b}}}$${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {H} (X | Y) = \ sum _ {y} P (y) \ operatorname {H} (X | y) = P_ {e} \ operatorname {H} _ {\ text {b }} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = P_ {e}}$ como se conoce de (e igual a) y a menos que, que tiene probabilidad . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle y = e}$${\ Displaystyle P_ {e}}$ Por definición , entonces ${\ Displaystyle \ operatorname {H} (X) = \ operatorname {H} _ {\ text {b}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = 1}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {I} (X; Y) = 1-P_ {e}}$ .

Si se notifica al remitente cuando se borra un bit, puede transmitir repetidamente cada bit hasta que se reciba correctamente, alcanzando la capacidad . Sin embargo, según el teorema de la codificación de canales ruidosos , la capacidad de puede obtenerse incluso sin dicha retroalimentación. ${\ Displaystyle 1-P_ {e}}$${\ Displaystyle 1-P_ {e}}$

Canales relacionados

Si los bits se invierten en lugar de borrarse, el canal es un canal simétrico binario (BSC), que tiene capacidad (para la función de entropía binaria ), que es menor que la capacidad del BEC para . Si se borran bits pero no se notifica al receptor (es decir, no recibe la salida ), entonces el canal es un canal de borrado y su capacidad es un problema abierto. ${\ Displaystyle 1- \ operatorname {H} _ {\ text {b}} (P_ {e})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {H} _ {\ text {b}}}$${\ Displaystyle 0 <P_ {e} <1/2}$${\ Displaystyle e}$

Historia

El BEC fue presentado por Peter Elias del MIT en 1955 como un ejemplo de juguete.

Ver también

• Código de borrado
• Canal de borrado de paquetes

Notas

Referencias

• Thomas M. Cover; Joy A. Thomas (1991). Elementos de la teoría de la información . Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN   978-0-471-24195-9 .
• MacKay, David JC (2003). Teoría de la información, Inferencia y Algoritmos de aprendizaje . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN   0-521-64298-1 .
• Mitzenmacher, Michael (2009), "Una encuesta de resultados para canales de eliminación y canales de sincronización relacionados", Encuestas de probabilidad , 6 : 1–33, doi : 10.1214 / 08-PS141 , MR   2525669