En teoría de probabilidad y estadística , dado un proceso estocástico , la autocovarianza es una función que da la covarianza del proceso consigo mismo en pares de puntos de tiempo. La autocovarianza está estrechamente relacionada con la autocorrelación del proceso en cuestión.
Autocovarianza de procesos estocásticos
Definición
Con la notación habitual para el operador de expectativa , si el proceso estocástico tiene la función media , entonces la autocovarianza viene dada por
![{\ Displaystyle \ mu _ {t} = \ operatorname {E} [X_ {t}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c374c761b597cfb0cd3fb93d979e9cb283b11fb0)
![{\ Displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {cov} \ left [X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {2}} \ right] = \ nombre de operador {E} [(X_ {t_ {1}} - \ mu _ {t_ {1}}) (X_ {t_ {2}} - \ mu _ {t_ {2}})] = \ nombre de operador { E} [X_ {t_ {1}} X_ {t_ {2}}] - \ mu _ {t_ {1}} \ mu _ {t_ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c3c2da09a072e13e513b1bbe6933e25cde5645) |
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( Ecuación 1 )
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donde y son dos momentos en el tiempo.
Definición de proceso débilmente estacionario
Si es un proceso débilmente estacionario (WSS) , entonces se cumple lo siguiente:
-
para todos 
y
-
![{\ Displaystyle \ operatorname {E} [| X_ {t} | ^ {2}] <\ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c342fce7b3d0b400400fa7a685c50f6fd5759f)
para todos 
y
donde es el tiempo de retraso, o la cantidad de tiempo que la señal se ha desplazado.
Por tanto, la función de autocovarianza de un proceso WSS viene dada por:
![{\ Displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau) = \ operatorname {E} [(X_ {t} - \ mu _ {t}) (X_ {t- \ tau} - \ mu _ {t - \ tau})] = \ nombre de operador {E} [X_ {t} X_ {t- \ tau}] - \ mu _ {t} \ mu _ {t- \ tau}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bebac457858097c963a0420549814469b9957a91) |
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( Ecuación 2 )
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que es equivalente a
-
![{\ Displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau) = \ operatorname {E} [(X_ {t + \ tau} - \ mu _ {t + \ tau}) (X_ {t} - \ mu _ { t})] = \ nombre de operador {E} [X_ {t + \ tau} X_ {t}] - \ mu ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65659ea76f170c24ca0c8f2c6974ca5d2d37f00)
.
Normalización
Es una práctica común en algunas disciplinas (por ejemplo, estadísticas y análisis de series de tiempo ) normalizar la función de autocovarianza para obtener un coeficiente de correlación de Pearson dependiente del tiempo . Sin embargo, en otras disciplinas (por ejemplo, ingeniería), la normalización generalmente se descarta y los términos "autocorrelación" y "autocovarianza" se usan indistintamente.
La definición de autocorrelación normalizada de un proceso estocástico es
-
![{\ Displaystyle \ rho _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {\ frac {\ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2})} {\ sigma _ {t_ {1}} \ sigma _ {t_ {2}}}} = {\ frac {\ operatorname {E} [(X_ {t_ {1}} - \ mu _ {t_ {1}}) (X_ { t_ {2}} - \ mu _ {t_ {2}})]} {\ sigma _ {t_ {1}} \ sigma _ {t_ {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741ddfc41cfa63f7780a2522359e351899e7e7d5)
.
Si la función está bien definido, su valor debe estar en el intervalo , con 1 que indica una correlación perfecta y -1 indica perfecto anti-correlación .
![[-1,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
Para un proceso WSS, la definición es
-
![{\ Displaystyle \ rho _ {XX} (\ tau) = {\ frac {\ operatorname {K} _ {XX} (\ tau)} {\ sigma ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {E } [(X_ {t} - \ mu) (X_ {t + \ tau} - \ mu)]} {\ sigma ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36204293351570cc466c142b9ef85984b0057e6)
.
dónde
-
.
Propiedades
Propiedad de simetría
respectivamente para un proceso WSS:
Filtrado lineal
La autocovarianza de un proceso filtrado linealmente 
es
Calcular la difusividad turbulenta
La autocovarianza se puede utilizar para calcular la difusividad turbulenta . La turbulencia en un flujo puede provocar la fluctuación de la velocidad en el espacio y el tiempo. Por lo tanto, podemos identificar las turbulencias a través de las estadísticas de esas fluctuaciones.
La descomposición de Reynolds se usa para definir las fluctuaciones de velocidad (suponga que ahora estamos trabajando con el problema 1D y es la velocidad a lo largo de la dirección):
donde es la velocidad verdadera y es el valor esperado de la velocidad . Si elegimos una correcta , se incluirán todos los componentes estocásticos de la velocidad turbulenta . Para determinarlo , se requiere un conjunto de medidas de velocidad que se ensamblan a partir de puntos en el espacio, momentos en el tiempo o experimentos repetidos.
Si asumimos que el flujo turbulento ( y c es el término concentración) puede ser causada por un camino aleatorio, podemos utilizar la Ley de Fick para expresar el término flujo turbulento:
La autocovarianza de la velocidad se define como
-
o 
donde es el tiempo de retraso y es la distancia de retraso.
La difusividad turbulenta se puede calcular utilizando los siguientes 3 métodos:
- Si tenemos datos de velocidad a lo largo de una trayectoria lagrangiana :
- Si tenemos datos de velocidad en una ubicación fija ( euleriana ):
![{\ Displaystyle D_ {T_ {x}} \ approx [0.3 \ pm 0.1] \ left [{\ frac {\ langle u'u '\ rangle + \ langle u \ rangle ^ {2}} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right] \ int _ {\ tau} ^ {\ infty} u' (t_ {0}) u '(t_ {0} + \ tau) \, d \ tau.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec64e8eaa03768b3b941ad1e1a0ad878dd8384f7)
- Si tenemos información de velocidad en dos ubicaciones fijas (eulerianas):
![{\ Displaystyle D_ {T_ {x}} \ approx [0.4 \ pm 0.1] \ left [{\ frac {1} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right] \ int _ {r} ^ {\ infty} u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) \, dr,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27ff93a23a26b35510de18e610047c20baf639c)
Autocovarianza de vectores aleatorios
Ver también
Referencias
