Significado aritmetico - Arithmetic mean

En matemáticas y estadísticas , la media aritmética ( / ˌ æ r ɪ theta m ɛ t ɪ k m i n / , el estrés en sílabas primera y tercera de "aritmética"), o simplemente la media o la media (cuando el contexto es claro), es la suma de una colección de números dividida por el recuento de números en la colección. La colección suele ser un conjunto de resultados de un experimento o un estudio de observación , o con frecuencia un conjunto de resultados de una encuesta . El término "media aritmética" se prefiere en algunos contextos en matemáticas y estadística, porque ayuda a distinguirlo de otros medios , como la media geométrica y la media armónica .

Además de las matemáticas y la estadística, la media aritmética se usa con frecuencia en muchos campos diversos, como la economía , la antropología y la historia , y se usa en casi todos los campos académicos hasta cierto punto. Por ejemplo, el ingreso per cápita es el ingreso promedio aritmético de la población de una nación.

Si bien la media aritmética se usa a menudo para informar tendencias centrales , no es una estadística sólida , lo que significa que está muy influenciada por valores atípicos (valores que son mucho más grandes o más pequeños que la mayoría de los valores). En el caso de distribuciones sesgadas , como la distribución de ingresos para la que los ingresos de algunas personas son sustancialmente mayores que los de la mayoría, la media aritmética puede no coincidir con la noción de "medio", y las estadísticas sólidas, como la mediana , pueden proporcionar una mejor descripción. de tendencia central.

Definición

Dado un conjunto de datos , la media aritmética (o media o promedio ), denotada ( barra de lectura ), es la media de los valores . ${\ Displaystyle X = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$

La media aritmética es la medida de tendencia central más comúnmente utilizada y fácilmente comprensible en un conjunto de datos. En estadística, el término promedio se refiere a cualquiera de las medidas de tendencia central. La media aritmética de un conjunto de datos observados se define como la suma de los valores numéricos de todas y cada una de las observaciones, dividida por el número total de observaciones. Simbólicamente, si tenemos un conjunto de datos que consta de los valores , entonces la media aritmética se define mediante la fórmula: ${\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}}$ ${\ Displaystyle A}$

{\ Displaystyle A = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = {\ frac {a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {n}} {n}}}

(para obtener una explicación del operador de suma , consulte la suma ).

Por ejemplo, considere el salario mensual de 10 empleados de una empresa: 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400. La media aritmética es

{\ displaystyle {\ frac {2500 + 2700 + 2400 + 2300 + 2550 + 2650 + 2750 + 2450 + 2600 + 2400} {10}} = 2530.}

Si el conjunto de datos es una población estadística (es decir, consta de todas las observaciones posibles y no solo de un subconjunto de ellas), entonces la media de esa población se denomina media poblacional y se indica con la letra griega . Si el conjunto de datos es una muestra estadística (un subconjunto de la población), entonces llamamos al estadístico resultante de este cálculo una media muestral (que para un conjunto de datos se denota como ). ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ overline {X}}}$

La media aritmética se puede definir de manera similar para vectores en múltiples dimensiones, no solo valores escalares ; esto a menudo se denomina centroide . De manera más general, debido a que la media aritmética es una combinación convexa (los coeficientes suman 1), se puede definir en un espacio convexo , no solo en un espacio vectorial.

Propiedades motivadoras

La media aritmética tiene varias propiedades que la hacen útil, especialmente como medida de tendencia central. Éstos incluyen:

Si los números tienen media , entonces . Dado que es la distancia desde un número dado a la media, una forma de interpretar esta propiedad es decir que los números a la izquierda de la media están equilibrados por los números a la derecha de la media. La media es el único número para el que los residuos (desviaciones de la estimación) suman cero. ${\ Displaystyle x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ Displaystyle (x_ {1} - {\ bar {x}}) + \ dotsb + (x_ {n} - {\ bar {x}}) = 0}$ ${\ Displaystyle x_ {i} - {\ bar {x}}}$
Si se requiere usar un solo número como un valor "típico" para un conjunto de números conocidos , entonces la media aritmética de los números lo hace mejor, en el sentido de minimizar la suma de las desviaciones cuadradas del valor típico: la suma de . (De ello se deduce que la media muestral es también el mejor predictor individual en el sentido de que tiene el error cuadrático medio de la raíz más bajo .) Si se desea la media aritmética de una población de números, entonces la estimación que es insesgada es la media aritmética. de una muestra extraída de la población. ${\ Displaystyle x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}}$ ${\ Displaystyle (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2}}$

Contraste con la mediana

La media aritmética se puede contrastar con la mediana . La mediana se define de manera que no más de la mitad de los valores sean mayores que la mediana y no más de la mitad sean menores que la mediana. Si los elementos de los datos aumentan aritméticamente , cuando se colocan en algún orden, entonces la mediana y el promedio aritmético son iguales. Por ejemplo, considere la muestra de datos . El promedio es , al igual que la mediana. Sin embargo, cuando consideramos una muestra que no se puede organizar de manera que aumente aritméticamente, como por ejemplo , la mediana y la media aritmética pueden diferir significativamente. En este caso, el promedio aritmético es 6.2, mientras que la mediana es 4. En general, el valor promedio puede variar significativamente de la mayoría de los valores de la muestra y puede ser mayor o menor que la mayoría de ellos. ${\ Displaystyle {1,2,3,4}}$ ${\ displaystyle 2.5}$ ${\ Displaystyle {1, 2, 4, 8, 16}}$

Hay aplicaciones de este fenómeno en muchos campos. Por ejemplo, desde la década de 1980, el ingreso medio en los Estados Unidos ha aumentado más lentamente que el promedio aritmético de ingresos.

Generalizaciones

Peso promedio

Un promedio ponderado, o media ponderada, es un promedio en el que algunos puntos de datos cuentan más que otros, en el sentido de que se les da más peso en el cálculo. Por ejemplo, la media aritmética de y es , o de manera equivalente . Por el contrario, una media ponderada en la que el primer número recibe, por ejemplo, el doble de peso que el segundo (quizás porque se supone que aparece el doble de frecuencia en la población general de la que se tomaron muestras de estos números) se calcularía como . Aquí los pesos, que necesariamente suman el valor uno, son y , siendo el primero el doble del segundo. La media aritmética (a veces denominada "promedio no ponderado" o "promedio igualmente ponderado") se puede interpretar como un caso especial de un promedio ponderado en el que todos los pesos son iguales entre sí (iguales a en el ejemplo anterior e iguales a en una situación en la que se promedian los números). ${\ Displaystyle 3}$ ${\ Displaystyle 5}$ ${\ Displaystyle {\ frac {(3 + 5)} {2}} = 4}$ ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {1} {2}} \ cdot 3 \ right) + \ left ({\ frac {1} {2}} \ cdot 5 \ right) = 4}$ ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {2} {3}} \ cdot 3 \ right) + \ left ({\ frac {1} {3}} \ cdot 5 \ right) = {\ frac {11} { 3}}}$ ${\ Displaystyle (2/3)}$ ${\ Displaystyle (1/3)}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ ${\ Displaystyle n}$

Distribuciones de probabilidad continua

Comparación de dos distribuciones logarítmicas normales con la misma mediana , pero diferente asimetría , lo que da como resultado diferentes medias y modos

Si una propiedad numérica, y cualquier muestra de datos de ella, pudiera tomar cualquier valor de un rango continuo, en lugar de, por ejemplo, solo números enteros, entonces la probabilidad de que un número caiga en algún rango de valores posibles se puede describir integrando una distribución de probabilidad continua en este rango, incluso cuando la probabilidad ingenua para un número de muestra que toma un cierto valor de infinitos es cero. El análogo de un promedio ponderado en este contexto, en el que hay un número infinito de posibilidades para el valor preciso de la variable en cada rango, se llama la media de la distribución de probabilidad . Una distribución de probabilidad más común se llama distribución normal ; tiene la propiedad de que todas las medidas de su tendencia central, incluyendo no sólo la media sino también la mediana y la moda (las tres M) mencionadas anteriormente, son iguales entre sí. Esta igualdad no es válida para otras distribuciones de probabilidad, como se ilustra aquí para la distribución logarítmica normal .

Anglos

Se debe tener especial cuidado al utilizar datos cíclicos, como fases o ángulos . Tomando ingenuamente la media aritmética de 1 ° y 359 ° se obtiene un resultado de 180 °. Esto es incorrecto por dos razones:

En primer lugar, las mediciones de ángulos solo se definen hasta una constante aditiva de 360 ° (o 2π, si se mide en radianes ). Así, se podría llamar fácilmente a estos 1 ° y -1 °, o 361 ° y 719 °, ya que cada uno de ellos da un promedio diferente.
En segundo lugar, en esta situación, 0 ° (equivalentemente, 360 °) es geométricamente un mejor valor promedio : hay una menor dispersión sobre él (los puntos están a 1 ° de él y 179 ° a 180 °, el promedio putativo).

En la aplicación general, tal descuido conducirá a que el valor promedio se mueva artificialmente hacia la mitad del rango numérico. Una solución a este problema es utilizar la formulación de optimización ( es decir , definir la media como el punto central: el punto sobre el cual se tiene la menor dispersión) y redefinir la diferencia como una distancia modular (es decir, la distancia en el círculo : entonces la distancia modular entre 1 ° y 359 ° es 2 °, no 358 °).

Prueba sin palabras de la desigualdad de las medias geométricas y aritméticas :
PR es el diámetro de un círculo centrado en O; su radio AO es la media aritmética de un y b . Usando el teorema de la media geométrica , la altitud GQ del triángulo PGR es la media geométrica . Para cualquier relación a : b , AO ≥ GQ.

Símbolos y codificación

La media aritmética a menudo se indica con una barra (también conocida como vinculum o macron ), por ejemplo, como en (leer barra ). ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ Displaystyle x}$

Es posible que algunos programas ( procesadores de texto , navegadores web ) no muestren correctamente el símbolo x̄. Por ejemplo, el símbolo x̄ en HTML es en realidad una combinación de dos códigos: la letra base x más un código para la línea anterior (& # 772; o ¯).

En algunos textos, como archivos PDF , el símbolo X puede ser reemplazado por un ciento símbolo (¢) ( Unicode & # 162), cuando se copia en el procesador de textos como Microsoft Word .

Ver también

Prueba geométrica sin palabras que max ( a , b ) > media cuadrática ( RMS ) o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > min ( a , b ) de dos números positivos a y b

Referencias

Otras lecturas

Huff, Darrell (1993). Cómo mentir con las estadísticas . WW Norton. ISBN 978-0-393-31072-6.

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