Arco (geometría) - Arc (geometry)

Un sector circular está sombreado en verde. Su límite curvo de longitud L es un arco circular.

En la geometría euclidiana , un arco (símbolo: ⌒ ) es un subconjunto conectado de una curva diferenciable . Los arcos de líneas se denominan segmentos o rayos , según estén delimitados o no. Un ejemplo curvo común es un arco de círculo , llamado arco circular . En una esfera (o un esferoide ), un arco de un gran círculo (o una gran elipse ) se llama un gran arco .

Cada par de puntos distintos en un círculo determina dos arcos. Si los dos puntos no están directamente opuestos entre sí, uno de estos arcos, el arco menor , subtiende un ángulo en el centro del círculo que es menor que π radianes (180 grados), y el otro arco, el arco mayor , subtiende un ángulo mayor que π radianes.

Arcos circulares

Longitud de un arco de círculo

La longitud (más precisamente, la longitud del arco ) de un arco de un círculo con radio r y subtiende un ángulo θ (medido en radianes) con el centro del círculo, es decir, el ángulo central , es

${\ Displaystyle L = \ theta r.}$

Esto es porque

${\ Displaystyle {\ frac {L} {\ mathrm {circunferencia}}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}}.}$

Sustituyendo en la circunferencia

${\ Displaystyle {\ frac {L} {2 \ pi r}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}},}$

y, siendo α el mismo ángulo medido en grados, ya que θ  = α/180π , la longitud del arco es igual a

${\ Displaystyle L = {\ frac {\ alpha \ pi r} {180}}.}$

Una forma práctica de determinar la longitud de un arco en un círculo es trazar dos líneas desde los puntos finales del arco hasta el centro del círculo, medir el ángulo donde las dos líneas se encuentran con el centro, luego resolver para L multiplicando en cruz el enunciado :

medida del ángulo en grados / 360 ° = L / circunferencia.

Por ejemplo, si la medida del ángulo es de 60 grados y la circunferencia es de 24 pulgadas, entonces

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {60} {360}} & = {\ frac {L} {24}} \\ 360L & = 1440 \\ L & = 4. \ end {alineado}}}$

Esto es así porque la circunferencia de un círculo y los grados de un círculo, de los cuales siempre hay 360, son directamente proporcionales.

La mitad superior de un círculo se puede parametrizar como

${\ Displaystyle y = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}.}$

Entonces la longitud del arco de a es ${\ Displaystyle x = a}$${\ Displaystyle x = b}$

${\ Displaystyle L = r {\ Big [} \ arcsin \ left ({\ frac {x} {r}} \ right) {\ Big]} _ {a} ^ {b}.}$

Área del sector del arco

El área del sector formado por un arco y el centro de un círculo (delimitado por el arco y los dos radios trazados en sus extremos) es

${\ Displaystyle A = {\ frac {r ^ {2} \ theta} {2}}.}$

El área A tiene la misma proporción con el área del círculo que el ángulo θ con un círculo completo:

${\ Displaystyle {\ frac {A} {\ pi r ^ {2}}} = {\ frac {\ theta} {2 \ pi}}.}$

Podemos cancelar π en ambos lados:

${\ Displaystyle {\ frac {A} {r ^ {2}}} = {\ frac {\ theta} {2}}.}$

Al multiplicar ambos lados por r ² , obtenemos el resultado final:

${\ Displaystyle A = {\ frac {1} {2}} r ^ {2} \ theta.}$

Usando la conversión descrita anteriormente, encontramos que el área del sector para un ángulo central medido en grados es

${\ Displaystyle A = {\ frac {\ alpha} {360}} \ pi r ^ {2}.}$

Área del segmento de arco

El área de la forma delimitada por el arco y la línea recta entre sus dos puntos finales es

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} r ^ {2} \ left (\ theta - \ sin {\ theta} \ right).}$

Para obtener el área del segmento de arco , necesitamos restar el área del triángulo, determinada por el centro del círculo y los dos puntos finales del arco, del área . Consulte Segmento circular para obtener más detalles. ${\ Displaystyle A}$

Radio del arco

El producto de los segmentos de línea AP y PB es igual al producto de los segmentos de línea CP y PD. Si el arco tiene un ancho AB y una altura CP, entonces el diámetro del círculo${\ Displaystyle CD = {\ frac {AP \ cdot PB} {CP}} + CP}$

Usando el teorema de las cuerdas que se intersecan (también conocido como la potencia de un punto o el teorema de la tangente secante) es posible calcular el radio r de un círculo dada la altura H y el ancho W de un arco:

Considere la cuerda con los mismos puntos finales que el arco. Su bisectriz perpendicular es otra cuerda, que es un diámetro del círculo. La longitud del primer acorde es W , y la bisectriz la divide en dos mitades iguales, cada una con una longitudW/2. La longitud total del diámetro es 2 r , y está dividida en dos partes por la primera cuerda. La longitud de una parte es la sagitta del arco, H , y la otra parte es el resto del diámetro, con una longitud de 2 r  -  H . La aplicación del teorema de los acordes que se cruzan a estos dos acordes produce

${\ Displaystyle H (2r-H) = \ left ({\ frac {W} {2}} \ right) ^ {2},}$

De dónde

${\ Displaystyle 2r-H = {\ frac {W ^ {2}} {4H}},}$

entonces

${\ Displaystyle r = {\ frac {W ^ {2}} {8H}} + {\ frac {H} {2}}.}$

Arcos parabólicos

Ver también

• Biarc
• Gráfico de arco circular
• Arco meridiano
• Circunferencia
• Perímetro

Referencias

enlaces externos

• Tabla de contenido de las páginas del Círculo de referencia abierta de matemáticas
• Página de referencia abierta de matemáticas sobre arcos circulares con animación interactiva
• Página de referencia abierta de matemáticas sobre el radio de un arco circular o segmento Con animación interactiva
• Weisstein, Eric W. "Arc" . MathWorld .