Solución en radicales - Solution in radicals

Una solución en radicales o solución algebraica es una expresión de forma cerrada , y más específicamente una expresión algebraica de forma cerrada , que es la solución de una ecuación polinomial , y se basa solo en la suma , resta , multiplicación , división , elevación a potencias enteras, y la extracción de raíces n -ésimas ( raíces cuadradas, raíces cúbicas y otras raíces enteras).

Un ejemplo bien conocido es la solución.

${\ Displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac \}}} {2a}}}$

de la ecuación cuadrática

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0.}$

Existen soluciones algebraicas más complicadas para ecuaciones cúbicas y ecuaciones cuárticas . El teorema de Abel-Ruffini y, de manera más general, la teoría de Galois , establecen que algunas ecuaciones quínticas , como

${\ Displaystyle x ^ {5} -x + 1 = 0,}$

no tengo ninguna solución algebraica. Lo mismo es cierto para todos los grados superiores. Sin embargo, para cualquier grado hay algunas ecuaciones polinomiales que tienen soluciones algebraicas; por ejemplo, la ecuación se puede resolver como Las otras ocho soluciones son números complejos no reales , que también son algebraicos y tienen la forma donde r es una quinta raíz de la unidad , que se puede expresar con dos raíces cuadradas anidadas . Véase también Función quíntica § Otras quínticas solucionables para varios otros ejemplos en el grado 5. ${\ displaystyle x ^ {10} = 2}$${\ Displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{10}] {2}}.}$${\ Displaystyle x = \ pm r {\ sqrt [{10}] {2}},}$

Évariste Galois introdujo un criterio que permite decidir qué ecuaciones se pueden resolver en radicales. Vea Extensión radical para la formulación precisa de su resultado.

Las soluciones algebraicas forman un subconjunto de expresiones de forma cerrada , porque estas últimas permiten funciones trascendentales ( funciones no algebraicas) como la función exponencial , la función logarítmica y las funciones trigonométricas y sus inversas.

Ver también

• Quínticas solucionables
• Séxticas solucionables
• Sépticos solubles

Referencias

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• t
• mi