Estructuralismo (filosofía de las matemáticas) - Structuralism (philosophy of mathematics)

El estructuralismo es una teoría de la filosofía de las matemáticas que sostiene que las teorías matemáticas describen estructuras de objetos matemáticos . Los objetos matemáticos se definen exhaustivamente por su lugar en tales estructuras. En consecuencia, el estructuralismo sostiene que los objetos matemáticos no poseen propiedades intrínsecas, sino que están definidos por sus relaciones externas en un sistema. Por ejemplo, el estructuralismo sostiene que el número 1 se define exhaustivamente por ser el sucesor del 0 en la estructura de la teoría de los números naturales . Por generalización de este ejemplo, cualquier número natural se define por su lugar respectivo en esta estructura de la recta numérica . Otros ejemplos de objetos matemáticos pueden incluir líneas y planos en geometría , o elementos y operaciones en álgebra abstracta .

El estructuralismo es una visión epistemológicamente realista en el sentido de que sostiene que los enunciados matemáticos tienen un valor de verdad objetivo . Sin embargo, su afirmación central solo se relaciona con qué tipo de entidad es un objeto matemático, no con qué tipo de existencia tienen los objetos o estructuras matemáticos (no, en otras palabras, con su ontología ). El tipo de existencia que tienen los objetos matemáticos dependería claramente del de las estructuras en las que están incrustados; diferentes subvariedades de estructuralismo hacen diferentes afirmaciones ontológicas a este respecto.

El estructuralismo en la filosofía de las matemáticas se asocia particularmente con Paul Benacerraf , Geoffrey Hellman , Michael Resnik , Stewart Shapiro y James Franklin .

Motivación histórica

La motivación histórica para el desarrollo del estructuralismo deriva de un problema fundamental de la ontología . Desde la época medieval , los filósofos han discutido si la ontología de las matemáticas contiene objetos abstractos . En la filosofía de las matemáticas, un objeto abstracto se define tradicionalmente como una entidad que: (1) existe independientemente de la mente; (2) existe independientemente del mundo empírico; y (3) tiene propiedades eternas e inmutables. El platonismo matemático tradicional sostiene que algún conjunto de elementos matemáticos —números naturales , números reales , funciones , relaciones , sistemas— son tales objetos abstractos. Por el contrario, el nominalismo matemático niega la existencia de tales objetos abstractos en la ontología de las matemáticas.

A finales del siglo XIX y principios del XX, una serie de programas antiplatónicos ganaron popularidad. Estos incluyeron intuicionismo , formalismo y predicativismo . Sin embargo, a mediados del siglo XX, estas teorías antiplatónicas tenían sus propios problemas. Posteriormente, esto resultó en un resurgimiento del interés por el platonismo. Fue en este contexto histórico donde se desarrollaron las motivaciones del estructuralismo. En 1965, Paul Benacerraf publicó un artículo de cambio de paradigma titulado "Lo que los números no podrían ser". Benacerraf concluyó, sobre dos argumentos principales, que el platonismo de la teoría de conjuntos no puede tener éxito como teoría filosófica de las matemáticas.

En primer lugar, Benacerraf argumentó que los enfoques platónicos no pasan la prueba ontológica. Desarrolló un argumento contra la ontología del platonismo de la teoría de conjuntos, que ahora se conoce históricamente como el problema de identificación de Benacerraf . Benacerraf señaló que hay formas elementalmente equivalentes de la teoría de conjuntos de relacionar números naturales con conjuntos puros . Sin embargo, si alguien pregunta por los enunciados de identidad "verdaderos" para relacionar números naturales con conjuntos puros, entonces diferentes métodos de teoría de conjuntos producen enunciados de identidad contradictorios cuando estos conjuntos elementalmente equivalentes se relacionan entre sí. Esto genera una falsedad en la teoría de conjuntos. En consecuencia, Benacerraf infirió que esta falsedad de la teoría de conjuntos demuestra que es imposible que exista un método platónico de reducir números a conjuntos que revele objetos abstractos.

En segundo lugar, Benacerraf argumentó que los enfoques platónicos no pasan la prueba epistemológica . Benacerraf sostuvo que no existe un método empírico o racional para acceder a objetos abstractos. Si los objetos matemáticos no son espaciales o temporales, entonces Benacerraf infiere que tales objetos no son accesibles a través de la teoría causal del conocimiento . Surge así el problema epistemológico fundamental para que el platónico ofrezca una explicación plausible de cómo un matemático con una mente empírica limitada es capaz de acceder con precisión a verdades eternas e independientes de la mente, independientes del mundo. Fue a partir de estas consideraciones, el argumento ontológico y el argumento epistemológico, que las críticas antiplatónicas de Benacerraf motivaron el desarrollo del estructuralismo en la filosofía de las matemáticas.

Variedades

Stewart Shapiro divide el estructuralismo en tres grandes escuelas de pensamiento. Estas escuelas se conocen como ante rem , in re y post rem .

El estructuralismo ante rem ("antes de la cosa"), o el estructuralismo abstracto o abstraccionismo (particularmente asociado con Michael Resnik , Stewart Shapiro , Edward N. Zalta y Øystein Linnebo ) tiene una ontología similar al platonismo (ver también neo-logicismo modal ) . Se sostiene que las estructuras tienen una existencia real pero abstracta e inmaterial. Como tal, se enfrenta al problema epistemológico estándar, como señaló Benacerraf, de explicar la interacción entre tales estructuras abstractas y matemáticos de carne y hueso.

El in re estructuralismo ("en la cosa"), o estructuralismo modal (particularmente asociado con Geoffrey Hellman ), es el equivalente del realismo aristotélico (realismo en valor de verdad, pero antirrealismo sobre objetos abstractos en ontología). Se considera que las estructuras existen en la medida en que algún sistema concreto las ejemplifica. Esto incurre en los problemas habituales de que algunas estructuras perfectamente legítimas pueden pasar accidentalmente a no existir, y que un mundo físico finito puede no ser lo suficientemente "grande" para acomodar algunas estructuras que de otro modo serían legítimas. El realismo aristotélico de James Franklin es también un in-reestructuralismo , argumentando que las propiedades estructurales como la simetría están ejemplificadas en el mundo físico y son perceptibles. En respuesta al problema de las estructuras no autenticadas que son demasiado grandes para caber en el mundo físico, Franklin responde que otras ciencias también pueden tratar con universales no autenticadas; por ejemplo, la ciencia del color puede tratar con un tono de azul que no ocurre en ningún objeto real.

El estructuralismo post rem ("después de la cosa"), o el estructuralismo eliminativo (particularmente asociado con Paul Benacerraf ), es antirrealista acerca de las estructuras de una manera que se asemeja al nominalismo . Como el nominalismo, el enfoque post rem niega la existencia de objetos matemáticos abstractos con propiedades distintas de su lugar en una estructura relacional. Según este punto de vista, los sistemas matemáticos existen y tienen características estructurales en común. Si algo es cierto para una estructura, será cierto para todos los sistemas que ejemplifican la estructura. Sin embargo, es meramente instrumental hablar de estructuras "mantenidas en común" entre sistemas: de hecho, no tienen existencia independiente.

Ver también

Precursores

Referencias

Bibliografía

enlaces externos